Datawhale干货

作者：shine-lee，编辑：极市平台

本文解读了一项数据预处理中的重要技术——特征归一化，提出并解答了5个相关问题，同时分析了相关方法和适用场景。

写在前面

Feature scaling，常见的提法有“特征归一化”、“标准化”，是数据预处理中的重要技术，有时甚至决定了算法能不能work以及work得好不好。谈到feature scaling的必要性，最常用的2个例子可能是：

• 特征间的单位（尺度）可能不同，比如身高和体重，比如摄氏度和华氏度，比如房屋面积和房间数，一个特征的变化范围可能是[1000, 10000]，另一个特征的变化范围可能是[−0.1,0.2]，在进行距离有关的计算时，单位的不同会导致计算结果的不同，尺度大的特征会起决定性作用，而尺度小的特征其作用可能会被忽略， 为了消除特征间单位和尺度差异的影响，以对每维特征同等看待，需要对特征进行归一化。
• 原始特征下， 因尺度差异，其损失函数的等高线图可能是椭圆形，梯度方向垂直于等高线，下降会走zigzag路线，而不是指向local minimum。通过对特征进行zero-mean and unit-variance变换后，其损失函数的等高线图更接近圆形，梯度下降的方向震荡更小，收敛更快，如下图所示，图片来自Andrew Ng。

Feature Scaling from Andrew Ng

对于feature scaling中最常使用的Standardization，似乎“无脑上”就行了，本文想多探究一些为什么，

• 常用的feature scaling方法都有哪些？
• 什么情况下该使用什么feature scaling方法？有没有一些指导思想？
• 所有的机器学习算法都需要feature scaling吗？有没有例外？
• 损失函数的等高线图都是椭圆或同心圆吗？能用椭圆和圆来简单解释feature scaling的作用吗？
• 如果损失函数的等高线图很复杂，feature scaling还有其他直观解释吗？

根据查阅到的资料，本文将尝试回答上面的问题。但笔者能力有限，空有困惑，能讲到哪算哪吧（微笑）。

常用feature scaling方法

在问为什么前，先看是什么。

给定数据集，令特征向量为x，维数为D，样本数量为R，可构成D×R的矩阵，一列为一个样本，一行为一维特征，如下图所示，图片来自Hung-yi Lee pdf-Gradient Descent：

feature matrix

feature scaling的方法可以分成2类，逐行进行和逐列进行。逐行是对每一维特征操作，逐列是对每个样本操作，上图为逐行操作中特征标准化的示例。

具体地，常用feature scaling方法如下，来自wiki，

• Rescaling (min-max normalization、range scaling)：

将每一维特征线性映射到目标范围[a,b]，即将最小值映射为a，最大值映射为b，常用目标范围为[0,1]和[−1,1]，特别地，映射到[0,1]计算方式为：

• Mean normalization：

将 均值映射为0，同时用最大值最小值的差对特征进行归一化，一种更常见的做法是用标准差进行归一化，如下。

• Standardization (Z-score Normalization)：

每维特征 0均值1方差（zero-mean and unit-variance）。

• Scaling to unit length：

将每个样本的特征向量除以其长度，即对样本特征向量的长度进行归一化，长度的度量常使用的是L2 norm（欧氏距离），有时也会采用L1 norm，不同度量方式的一种对比可以参见论文“CVPR2005-Histograms of Oriented Gradients for Human Detection”。

上述4种feature scaling方式，前3种为逐行操作，最后1种为逐列操作。

容易让人困惑的一点是指代混淆，Standardization指代比较清晰，但是单说Normalization有时会指代min-max normalization，有时会指代Standardization，有时会指代Scaling to unit length。

计算方式上对比分析

前3种feature scaling的计算方式为 减一个统计量再除以一个统计量，最后1种为 除以向量自身的长度。

• 减一个统计量 可以看成 选哪个值作为原点，是最小值还是均值，并将整个数据集平移到这个新的原点位置。如果特征间偏置不同对后续过程有负面影响，则该操作是有益的，可以看成是某种 偏置无关操作；如果原始特征值有特殊意义，比如稀疏性，该操作可能会破坏其稀疏性。
• 除以一个统计量 可以看成在 坐标轴方向上对特征进行缩放，用于 降低特征尺度的影响，可以看成是某种尺度无关操作。缩放可以使用最大值最小值间的跨度，也可以使用标准差（到中心点的平均距离），前者对outliers敏感，outliers对后者影响与outliers数量和数据集大小有关，outliers越少数据集越大影响越小。
• 除以长度 相当于把长度归一化， 把所有样本映射到单位球上，可以看成是某种 长度无关操作，比如，词频特征要移除文章长度的影响，图像处理中某些特征要移除光照强度的影响，以及方便计算余弦距离或内积相似度等。

稀疏数据、outliers相关的更多数据预处理内容可以参见scikit learn-5.3. Preprocessing data。

从几何上观察上述方法的作用，图片来自CS231n-Neural Networks Part 2: Setting up the Data and the Loss，zero-mean将数据集平移到原点，unit-variance使每维特征上的跨度相当，图中可以明显看出两维特征间存在线性相关性，Standardization操作并没有消除这种相关性。

Standardization

可通过PCA方法移除线性相关性（decorrelation），即引入旋转，找到新的坐标轴方向，在新坐标轴方向上用“标准差”进行缩放，如下图所示，图片来自链接，图中同时描述了unit length的作用——将所有样本映射到单位球上。

Effect of the operations of standardization and length normalization

当特征维数更多时，对比如下，图片来自youtube，

feature scaling comparison

总的来说， 归一化/标准化的目的是为了获得某种“无关性”——偏置无关、尺度无关、长度无关……当归一化/标准化方法背后的物理意义和几何含义与当前问题的需要相契合时，其对解决该问题就有正向作用，反之，就会起反作用。所以，“何时选择何种方法”取决于待解决的问题，即problem-dependent。

feature scaling 需要还是不需要

下图来自data school-Comparing supervised learning algorithms，对比了几个监督学习算法，最右侧两列为是否需要feature scaling。

Comparing supervised learning algorithms

下面具体分析一下。

什么时候需要feature scaling？

• 涉及或隐含 距离计算 的算法，比如K-means、KNN、PCA、SVM等，一般需要feature scaling，因为：

zero-mean一般可以增加样本间余弦距离或者内积结果的差异，区分力更强，假设数据集集中分布在第一象限遥远的右上角，将其平移到原点处，可以想象样本间余弦距离的差异被放大了。在模版匹配中，zero-mean可以明显提高响应结果的区分度。

就欧式距离而言， 增大某个特征的尺度，相当于增加了其在距离计算中的权重，如果有明确的先验知识表明某个特征很重要，那么适当增加其权重可能有正向效果，但如果没有这样的先验，或者目的就是想知道哪些特征更重要，那么就需要先feature scaling，对各维特征等而视之。

增大尺度的同时也增大了该特征维度上的方差，PCA算法倾向于关注方差较大的特征所在的坐标轴方向，其他特征可能会被忽视，因此，在PCA前做Standardization效果可能更好，如下图所示，图片来自scikit learn-Importance of Feature Scaling，

PCA and Standardization

• 损失函数中含有 正则项 时，一般需要feature scaling：对于线性模型y=wx+b而言，x的任何线性变换（平移、放缩），都可以被w和b“吸收”掉，理论上，不会影响模型的拟合能力。但是，如果损失函数中含有正则项，如λ∣∣w∣∣^2，λ为超参数，其对w的每一个参数施加同样的惩罚，但对于某一维特征xi而言，其scale越大，系数wi越小，其在正则项中的比重就会变小，相当于对wi惩罚变小，即损失函数会相对忽视那些scale增大的特征，这并不合理，所以需要feature scaling，使损失函数平等看待每一维特征。
• 梯度下降算法，需要feature scaling。梯度下降的参数更新公式如下，

E(W) 为损失函数， 收敛速度取决于：参数的初始位置到local minima的距离，以及学习率η的大小。一维情况下， 在local minima附近，不同学习率对梯度下降的影响如下图所示：

Gradient descent for different learning rates

多维情况下可以分解成多个上图，每个维度上分别下降，参数W为向量，但学习率只有1个，即所有参数维度共用同一个学习率（暂不考虑为每个维度都分配单独学习率的算法）。收敛意味着在每个参数维度上都取得极小值，每个参数维度上的偏导数都为0，但是每个参数维度上的下降速度是不同的，为了每个维度上都能收敛，学习率应取所有维度在当前位置合适步长中最小的那个。下面讨论feature scaling对gradient descent的作用，

• zero center与参数初始化相配合，缩短初始参数位置与local minimum间的距离，加快收敛。模型的最终参数是未知的，所以一般随机初始化，比如从0均值的均匀分布或高斯分布中采样得到，对线性模型而言，其分界面初始位置大致在原点附近，bias经常初始化为0，则分界面直接通过原点。同时，为了收敛，学习率不会很大。而每个数据集的特征分布是不一样的，如果其分布集中且距离原点较远，比如位于第一象限遥远的右上角，分界面可能需要花费很多步骤才能“爬到”数据集所在的位置。所以，无论什么数据集，先平移到原点，再配合参数初始化，可以保证分界面一定会穿过数据集。此外， outliers常分布在数据集的外围，与分界面从外部向内挪动相比，从中心区域开始挪动可能受outliers的影响更小。
• 对于采用均方误差损失LMS的线性模型，损失函数恰为二阶，如下图所示

不同方向上的下降速度变化不同（二阶导不同，曲率不同），恰由输入的协方差矩阵决定， 通过scaling改变了损失函数的形状，减小不同方向上的曲率差异。将每个维度上的下降分解来看，给定一个下降步长，如果不够小，有的维度下降的多，有的下降的少，有的还可能在上升，损失函数的整体表现可能是上升也可能是下降