杭州初三上学期数学单元知识点梳理

第一单元：二次根式

单元主题

二次根式的概念、性质与运算

知识结构

二次根式

├── 二次根式的概念

├── 二次根式的性质

├── 二次根式的乘除运算

└── 二次根式的加减运算

重点知识点

1.1 二次根式的概念

定义

一般地，形如 $\sqrt{a}$（$a \geq 0$）的式子叫做二次根式
$a$ 叫做被开方数，必须满足 $a \geq 0$

重要概念

最简二次根式：

被开方数不含分母
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式

同类二次根式：

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式

1.2 二次根式的性质

基本性质

$(\sqrt{a})^2 = a$（$a \geq 0$）
$\sqrt{a^2} = |a| = \begin{cases} a & (a \geq 0) \ -a & (a < 0) \end{cases}$

重要性质

3. $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$（$a \geq 0, b \geq 0$）

4. $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a \geq 0, b > 0$）

1.3 二次根式的运算

乘法法则

$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a \geq 0, b \geq 0$）

除法法则

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$（$a \geq 0, b > 0$）

加减法法则

先将二次根式化成最简二次根式
再将同类二次根式合并

典型例题

例 1：二次根式有意义的条件

求使下列二次根式有意义的 $x$ 的取值范围：

(1) $\sqrt{x - 3}$

(2) $\sqrt{2x + 1}$

(3) $\sqrt{\frac{1}{x - 2}}$

解答：

(1) $x - 3 \geq 0 \implies x \geq 3$

(2) $2x + 1 \geq 0 \implies x \geq -\frac{1}{2}$

(3) $\begin{cases} x - 2 > 0 \ \frac{1}{x - 2} \geq 0 \end{cases} \implies x > 2$

例 2：二次根式的化简

化简：

(1) $\sqrt{12}$

(2) $\sqrt{\frac{3}{2}}$

(3) $\sqrt{(-5)^2}$

解答：

(1) $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$

(2) $\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

(3) $\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5$

例 3：二次根式的运算

计算：

(1) $\sqrt{8} + \sqrt{18}$

(2) $\sqrt{27} \times \sqrt{3}$

(3) $\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}$

解答：

(1) $\sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

(2) $\sqrt{27} \times \sqrt{3} = \sqrt{81} = 9$

(3) $\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{48}{3}} = \sqrt{16} = 4$

易错点分析

易错点 1：二次根式有意义的条件

错误：忽略被开方数非负的条件
正确：必须保证被开方数 $a \geq 0$

易错点 2：的化简

错误：直接写成 $a$
正确：应该是 $|a|$，注意符号

易错点 3：同类二次根式的判断

错误：没有化成最简二次根式就判断
正确：必须先化简，再看被开方数是否相同

考点总结

高频考点

二次根式有意义的条件
二次根式的性质与化简
二次根式的运算
最简二次根式和同类二次根式的判断

解题技巧

遇到二次根式问题，首先考虑被开方数的取值范围
化简二次根式时，要分解因数，提取完全平方数
运算时要先化简，再进行合并或计算
注意符号问题，特别是 $\sqrt{a^2} = |a|$

第二单元：一元二次方程

单元主题

一元二次方程的解法与应用

知识结构

一元二次方程

├── 一元二次方程的概念

├── 一元二次方程的解法

│   ├── 直接开平方法

│   ├── 配方法

│   ├── 公式法

│   └── 因式分解法

├── 一元二次方程根的判别式

└── 一元二次方程的应用

重点知识点

2.1 一元二次方程的概念

定义

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程
一般形式：$ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$）
$a$ 叫做二次项系数，$b$ 叫做一次项系数，$c$ 叫做常数项

重要概念

一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值

2.2 一元二次方程的解法

1. 直接开平方法

适用形式：$(x + m)^2 = n$（$n \geq 0$）
解法：$x + m = \pm \sqrt{n} \implies x = -m \pm \sqrt{n}$

2. 配方法

步骤：

把常数项移到方程右边
方程两边同时除以二次项系数
方程两边同时加上一次项系数一半的平方
左边写成完全平方形式，右边合并同类项
用直接开平方法求解

3. 公式法

求根公式：$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$（$b^2 - 4ac \geq 0$）
步骤：

把方程化为一般形式
确定 $a, b, c$ 的值
计算判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$
代入求根公式求解

4. 因式分解法

适用条件：方程左边能分解成两个一次因式的乘积，右边为 0
解法：$ab = 0 \implies a = 0$ 或 $b = 0$

2.3 一元二次方程根的判别式

判别式

$\Delta = b^2 - 4ac$

根的情况

$\Delta > 0$：方程有两个不相等的实数根
$\Delta = 0$：方程有两个相等的实数根
$\Delta < 0$：方程没有实数根

2.4 一元二次方程的应用

常见应用类型

增长率问题

公式：$a(1 + x)^n = b$

面积问题

利用图形面积公式建立方程

利润问题

利润 = (售价 - 成本) × 销售量

数字问题

利用数字之间的关系建立方程

典型例题

例 1：一元二次方程的解法

用适当的方法解下列方程：

(1) $x^2 - 4 = 0$

(2) $x^2 - 4x + 3 = 0$

(3) $2x^2 - 5x + 2 = 0$

解答：

(1) 直接开平方法：

$x^2 = 4 \implies x = \pm 2$

(2) 因式分解法：

$(x - 1)(x - 3) = 0 \implies x_1 = 1, x_2 = 3$

(3) 公式法：

$a = 2, b = -5, c = 2$

$\Delta = (-5)^2 - 4 \times 2 \times 2 = 25 - 16 = 9$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}$

$\implies x_1 = 2, x_2 = \frac{1}{2}$

例 2：根的判别式应用

已知关于 $x$ 的方程 $x^2 + (2k + 1)x + k^2 = 0$ 有两个不相等的实数根，求 $k$ 的取值范围。

解答：

$\Delta = (2k + 1)^2 - 4 \times 1 \times k^2$

$= 4k^2 + 4k + 1 - 4k^2$

$= 4k + 1$

因为方程有两个不相等的实数根，所以 $\Delta > 0$：

$4k + 1 > 0 \implies k > -\frac{1}{4}$

例 3：一元二次方程的应用

某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元。为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件。若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？

解答：

设每件衬衫应降价 $x$ 元，则：

每件盈利：$(40 - x)$ 元
每天销售量：$(20 + 2x)$ 件

根据题意列方程：

$(40 - x)(20 + 2x) = 1200$

展开并整理：

$800 + 80x - 20x - 2x^2 = 1200$

$-2x^2 + 60x - 400 = 0$

$x^2 - 30x + 200 = 0$

因式分解：

$(x - 10)(x - 20) = 0$

$\implies x_1 = 10, x_2 = 20$

因为要尽快减少库存，所以选择降价更多的方案：

$x = 20$

答：每件衬衫应降价 20 元。

易错点分析

易错点 1：一元二次方程的一般形式

错误：忽略 $a \neq 0$ 的条件
正确：必须保证二次项系数不为 0

易错点 2：配方法的应用

错误：忘记在方程两边同时加上一次项系数一半的平方
正确：配方时要保持方程的平衡

易错点 3：求根公式的应用

错误：符号错误，特别是 $-b$ 的符号
正确：注意公式中的符号，特别是当 $b$ 为负数时

易错点 4：实际应用问题

错误：解出的根不符合实际意义
正确：要检验解是否符合实际情况，舍去不合理的解

考点总结

高频考点

一元二次方程的概念和一般形式
一元二次方程的解法（四种方法）
根的判别式及其应用
一元二次方程的实际应用

解题技巧

选择适当的解法：

形如 $(x + m)^2 = n$ 用直接开平方法
能因式分解的用因式分解法
二次项系数为 1 且一次项系数为偶数的用配方法
其他情况用公式法

应用问题解题步骤：

审题，设未知数
找等量关系，列方程
解方程
检验解的合理性
写出答案

第三单元：旋转

单元主题

图形的旋转及其性质

知识结构

旋转

├── 旋转的概念

├── 旋转的性质

├── 中心对称

└── 图案设计

重点知识点

3.1 旋转的概念

定义

在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转
这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角

相关概念

旋转前的图形：原图形
旋转后的图形：像
对应点：旋转后能够互相重合的点

3.2 旋转的性质

基本性质

对应点到旋转中心的距离相等
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
旋转前、后的图形全等

重要结论

旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置
旋转中心在旋转过程中保持不动

3.3 中心对称

定义

把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称
这个点叫做对称中心
这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点

性质

关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分
关于中心对称的两个图形是全等图形

中心对称图形

把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形
这个点就是它的对称中心

典型例题

例 1：旋转的性质应用

如图，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 40° 得到△ADE，若∠BAC = 85°，∠E = 60°，则∠CAD 的度数为（）

A. 40° B. 45° C. 50° D. 55°

解答：

根据旋转性质：

∠CAE = 40°（旋转角）
∠BAC = ∠DAE = 85°
∠E = ∠C = 60°

在△ABC 中：

∠ABC = 180° - 85° - 60° = 35°

∠BAD = ∠BAC - ∠CAD = 85° - ∠CAD

∠DAE = ∠BAD + ∠BAE = 85°

因为∠CAE = 40°，所以∠BAE = ∠BAC + ∠CAE = 85° + 40° = 125°，这显然不对。

正确解法：

旋转角是∠BAD = 40°

∠CAD = ∠BAC - ∠BAD = 85° - 40° = 45°

答案：B

例 2：中心对称图形的判断

下列图形中，是中心对称图形的是（）

A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正五边形 D. 等腰梯形

解答：

中心对称图形是指绕某点旋转 180° 后能与自身重合的图形。

A. 等边三角形：旋转 120° 重合，不是中心对称图形
B. 平行四边形：旋转 180° 重合，是中心对称图形
C. 正五边形：旋转 72° 重合，不是中心对称图形
D. 等腰梯形：是轴对称图形，不是中心对称图形

答案：B

易错点分析

易错点 1：旋转角的确定

错误：把任意两个对应点与旋转中心的夹角都当作旋转角
正确：旋转角是指对应线段的夹角，所有对应线段的旋转角都相等

易错点 2：中心对称与轴对称的区别

错误：混淆中心对称和轴对称的概念
正确：中心对称是绕点旋转 180°，轴对称是沿直线折叠

易错点 3：旋转作图

错误：作图时忽略旋转方向和旋转角度
正确：必须明确旋转中心、旋转方向和旋转角度

考点总结

高频考点

旋转的概念和性质
中心对称和中心对称图形
旋转作图
旋转在几何证明中的应用

解题技巧

解决旋转问题时，要抓住旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度
利用旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的夹角等于旋转角
判断中心对称图形时，想象将图形旋转 180° 后是否与原图形重合
旋转作图的步骤：确定旋转中心、找出关键点、画出对应点、连接对应点

第四单元：圆

单元主题

圆的性质与应用

知识结构

圆

├── 圆的基本概念

├── 圆的对称性

├── 圆周角与圆心角

├── 点、直线、圆与圆的位置关系

├── 正多边形与圆

└── 弧长和扇形面积

重点知识点

4.1 圆的基本概念

定义

在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆
固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径

相关概念

弦：连接圆上任意两点的线段
直径：经过圆心的弦，是圆中最长的弦
弧：圆上任意两点间的部分，分为优弧、劣弧和半圆
圆心角：顶点在圆心的角
圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角

4.2 圆的对称性

轴对称性

圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴

中心对称性

圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心

4.3 圆周角与圆心角

圆心角定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等

圆周角定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

推论

同弧或等弧所对的圆周角相等
半圆（或直径）所对的圆周角是直角
90° 的圆周角所对的弦是直径

4.4 点、直线、圆与圆的位置关系

点与圆的位置关系

设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d：

d > r：点在圆外
d = r：点在圆上
d < r：点在圆内

直线与圆的位置关系

设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d：

d > r：直线与圆相离
d = r：直线与圆相切
d < r：直线与圆相交

切线的性质

圆的切线垂直于过切点的半径

切线的判定

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

圆与圆的位置关系

设两圆的半径分别为 R 和 r，圆心距为 d：

d > R + r：两圆外离
d = R + r：两圆外切
|R - r| < d < R + r：两圆相交
d = |R - r|：两圆内切
d < |R - r|：两圆内含

4.5 弧长和扇形面积

弧长公式

$l = \frac{n\pi R}{180}$（n 为圆心角度数，R 为圆的半径）

扇形面积公式

$S = \frac{n\pi R^2}{360} = \frac{1}{2}lR$（l 为弧长）

典型例题

例 1：圆周角定理的应用

如图，AB 是⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的两点，若∠BCD = 28°，则∠ABD =（）

A. 28° B. 56° C. 62° D. 72°

解答：

因为 AB 是直径，所以∠ADB = 90°（直径所对的圆周角是直角）

∠BAD = ∠BCD = 28°（同弧 BD 所对的圆周角相等）

在 Rt△ABD 中：

∠ABD = 90° - ∠BAD = 90° - 28° = 62°

答案：C

例 2：切线的性质与判定

如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，过点 C 的直线与 AB 的延长线交于点 P，且∠COB = 2∠PCB。求证：PC 是⊙O 的切线。

证明：

∵ OC = OB（⊙O 的半径）

∴ ∠OCB = ∠OBC

∵ ∠COB + ∠OCB + ∠OBC = 180°

∴ ∠COB = 180° - 2∠OCB

又∵ ∠COB = 2∠PCB

∴ 180° - 2∠OCB = 2∠PCB

∴ ∠OCB + ∠PCB = 90°

∴ ∠OCP = 90°

∵ OC 是⊙O 的半径，且 OC ⊥ PC

∴ PC 是⊙O 的切线

例 3：弧长和扇形面积的计算

已知扇形的圆心角为 60°，半径为 6cm，求扇形的弧长和面积。

解答：

弧长：

$l = \frac{n\pi R}{180} = \frac{60\pi \times 6}{180} = 2\pi$（cm）

扇形面积：

$S = \frac{n\pi R^2}{360} = \frac{60\pi \times 6^2}{360} = 6\pi$（cm²）

或用另一个公式：

$S = \frac{1}{2}lR = \frac{1}{2} \times 2\pi \times 6 = 6\pi$（cm²）

易错点分析

易错点 1：圆周角与圆心角的关系

错误：混淆圆周角和圆心角的概念
正确：圆周角等于它所对的圆心角的一半

易错点 2：切线的判定

错误：只证明垂直或只证明经过半径外端
正确：必须同时满足两个条件：经过半径外端且垂直于这条半径

易错点 3：弧长和扇形面积公式的应用

错误：公式记忆错误或单位换算错误
正确：牢记公式，注意角度单位是度

考点总结

高频考点

圆的基本概念和性质
圆周角定理及其推论
直线与圆的位置关系，特别是切线的性质和判定
弧长和扇形面积的计算
圆的综合应用

解题技巧

解决圆的问题时，要注意运用圆的对称性
遇到圆周角问题，要找它所对的圆心角或同弧所对的其他圆周角
证明切线时，要分两种情况：已知半径证垂直，或已知垂直证半径
计算弧长和扇形面积时，要正确运用公式，注意角度和半径的单位

第五单元：概率初步

单元主题

随机事件与概率计算

知识结构

概率初步

├── 随机事件

├── 概率的意义

├── 概率的计算

│   ├── 古典概型

│   └── 几何概型

└── 用频率估计概率

重点知识点

5.1 随机事件

事件的分类

必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件
不可能事件：在一定条件下，必然不会发生的事件
随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件

频率与概率

频率：在 n 次重复试验中，事件 A 发生的次数 m 与 n 的比值
概率：在大量重复试验中，事件 A 发生的频率稳定在某个常数附近，这个常数叫做事件 A 的概率

5.2 概率的意义

定义

一般地，对于一个随机事件 A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为 P (A)

概率的取值范围

必然事件的概率：P (A) = 1
不可能事件的概率：P (A) = 0
随机事件的概率：0 <P (A) < 1

5.3 概率的计算

古典概型

特点：

试验中所有可能出现的基本事件只有有限个
每个基本事件出现的可能性相等

计算公式：

$P(A) = \frac{\text{事件A包含的基本事件数}}{\text{基本事件的总数}}$

几何概型

特点：

试验中所有可能出现的结果是无限的
每个结果出现的可能性相等

计算公式：

$P(A) = \frac{\text{构成事件A的区域长度(面积或体积)}}{\text{试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)}}$

5.4 用频率估计概率

原理

在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是事件的概率

应用

当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率

典型例题

例 1：随机事件的判断

下列事件中，属于必然事件的是（）

A. 明天会下雨

B. 打开电视，正在播放广告

C. 367 人中至少有 2 人公历生日相同

D. 抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上

解答：

A. 随机事件

B. 随机事件

C. 必然事件（一年最多 366 天）

D. 随机事件

答案：C

例 2：古典概型的计算

一个不透明的袋子中装有 3 个红球和 2 个白球，这些球除颜色外都相同。从袋子中随机摸出一个球，求摸到红球的概率。

解答：

基本事件总数：3 + 2 = 5（个）

事件 A（摸到红球）包含的基本事件数：3（个）

$P(A) = \frac{3}{5}$

例 3：几何概型的计算

如图，在正方形 ABCD 中，随机撒一粒豆子，则豆子落在阴影部分的概率是（）

解答：

设正方形边长为 2，则：

正方形面积：$2 \times 2 = 4$
阴影部分面积：$\frac{1}{4} \times \pi \times 1^2 \times 4 = \pi$

$P = \frac{\text{阴影部分面积}}{\text{正方形面积}} = \frac{\pi}{4}$

易错点分析

易错点 1：事件类型的判断

错误：混淆必然事件、不可能事件和随机事件
正确：根据事件发生的可能性进行判断

易错点 2：古典概型的条件

错误：忽略 “等可能性” 的条件
正确：必须保证每个基本事件发生的可能性相等

易错点 3：概率的取值范围

错误：得出的概率不在 0 到 1 之间
正确：概率的取值范围是 0 ≤ P (A) ≤ 1

考点总结

高频考点

随机事件的判断
古典概型的概率计算
几何概型的概率计算
用频率估计概率

解题技巧

判断事件类型时，要根据事件发生的可能性
计算古典概型时，要先确定基本事件总数和事件 A 包含的基本事件数
计算几何概型时，要正确计算相关图形的面积或长度
用频率估计概率时，要进行大量重复试验

第六单元：反比例函数

单元主题

反比例函数的图像与性质

知识结构

反比例函数

├── 反比例函数的概念

├── 反比例函数的图像

├── 反比例函数的性质

└── 反比例函数的应用

重点知识点

6.1 反比例函数的概念

定义

一般地，形如 $y = \frac{k}{x}$（k 为常数，k ≠ 0）的函数叫做反比例函数

等价形式

$y = kx^{-1}$（k ≠ 0）
$xy = k$（k ≠ 0）

自变量的取值范围

$x ≠ 0$

6.2 反比例函数的图像

图像形状

反比例函数的图像是双曲线

图像位置

当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限
当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限

对称性

反比例函数的图像关于原点对称
反比例函数的图像关于直线 y = x 和 y = -x 对称

6.3 反比例函数的性质

增减性

当 k > 0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小
当 k < 0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大

重要结论

反比例函数上任意一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于 | k|
过反比例函数上任意一点作 x 轴或 y 轴的垂线，连接该点与原点，形成的三角形面积等于$\frac{1}{2}|k|$

6.4 反比例函数的应用

常见应用类型

面积问题
行程问题
工程问题
浓度问题

典型例题

例 1：反比例函数的概念

已知函数 $y = (m + 1)x^{m^2 - 2}$ 是反比例函数，求 m 的值。

解答：

根据反比例函数的定义：

$\begin{cases} m^2 - 2 = -1 \ m + 1 \neq 0 \end{cases}$

解得：

$m^2 = 1 \implies m = 1$ 或 $m = -1$

又因为 $m + 1 \neq 0 \implies m \neq -1$

所以 $m = 1$

例 2：反比例函数的性质

已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$（k <0）的图像上有两点 A (x₁, y₁)，B (x₂, y₂)，且 x₁ < x₂ < 0，则 y₁与 y₂的大小关系是（）

A. y₁ < y₂ B. y₁ > y₂ C. y₁ = y₂ D. 无法确定

解答：

因为 k < 0，所以在每个象限内，y 随 x 的增大而增大

因为 x₁ < x₂ < 0，所以两点都在第三象限

所以 y₁ < y₂

答案：A

例 3：反比例函数的应用

已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图像经过点 (2, 3)，求：

(1) k 的值；

(2) 当 x = -1 时，y 的值；

(3) 当 y = -2 时，x 的值。

解答：

(1) 将点 (2, 3) 代入函数：

$3 = \frac{k}{2} \implies k = 6$

(2) 当 x = -1 时：

$y = \frac{6}{-1} = -6$

(3) 当 y = -2 时：

$-2 = \frac{6}{x} \implies x = -3$

易错点分析

易错点 1：反比例函数的定义

错误：忽略 k ≠ 0 的条件
正确：必须保证比例系数 k 不为 0

易错点 2：反比例函数的增减性

错误：说 “y 随 x 的增大而减小”，忽略 “在每个象限内” 的条件
正确：增减性是在每个象限内讨论的

易错点 3：反比例函数图像上的点

错误：认为反比例函数的图像与坐标轴有交点
正确：反比例函数的图像与坐标轴没有交点，因为 x 和 y 都不能为 0

考点总结

高频考点

反比例函数的概念和定义
反比例函数的图像和性质
反比例函数系数 k 的几何意义
反比例函数的应用

解题技巧

判断反比例函数时，要注意 k ≠ 0 和 x 的次数为 - 1
分析反比例函数的性质时，要结合 k 的符号
利用 k 的几何意义可以解决很多面积问题
解决应用问题时，要先确定函数关系式，再代入计算

第七单元：相似

单元主题

图形的相似与相似三角形

知识结构

相似

├── 图形的相似

├── 相似三角形的判定

├── 相似三角形的性质

└── 相似三角形的应用

重点知识点

7.1 图形的相似

定义

形状相同的图形叫做相似图形

相似多边形的性质

相似多边形的对应角相等
相似多边形的对应边成比例

相似比

相似多边形对应边的比叫做相似比

7.2 相似三角形的判定

判定定理

两角分别相等的两个三角形相似
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
三边成比例的两个三角形相似

特殊情况

平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似

7.3 相似三角形的性质

基本性质

相似三角形的对应角相等
相似三角形的对应边成比例

重要性质

3. 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比

4. 相似三角形周长的比等于相似比

5. 相似三角形面积的比等于相似比的平方

7.4 相似三角形的应用

常见应用类型

测量高度：利用相似三角形测量物体的高度
测量距离：利用相似三角形测量两点间的距离
位似图形：利用位似变换放大或缩小图形

典型例题

例 1：相似三角形的判定

如图，在△ABC 中，DE∥BC，若 AD = 2，DB = 3，则△ADE 与△ABC 的相似比为（）

A. 2:3 B. 2:5 C. 3:5 D. 4:25

解答：

因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似）

相似比 = AD:AB = AD:(AD + DB) = 2:(2 + 3) = 2:5

答案：B

例 2：相似三角形的性质

已知△ABC∽△DEF，相似比为 2:3，若△ABC 的周长为 12，则△DEF 的周长为（）

A. 8 B. 12 C. 18 D. 27

解答：

相似三角形周长的比等于相似比

设△DEF 的周长为 x，则：

$\frac{12}{x} = \frac{2}{3} \implies x = 18$

答案：C

例 3：相似三角形的应用

如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网 4 米的位置上，已知小明的击球高度为 1.8 米，网高为 0.8 米，求小明与网的水平距离。

解答：

设小明与网的水平距离为 x 米

根据相似三角形的性质：

$\frac{1.8}{0.8} = \frac{x + 4}{4}$

解得：

$1.8 \times 4 = 0.8(x + 4)$

$7.2 = 0.8x + 3.2$

$0.8x = 4$

$x = 5$

答：小明与网的水平距离为 5 米。

易错点分析

易错点 1：相似三角形的判定

错误：两边成比例但夹角不相等就判定相似
正确：必须是两边成比例且夹角相等

易错点 2：相似比的应用

错误：面积比等于相似比
正确：面积比等于相似比的平方

易错点 3：对应关系

错误：相似三角形的对应边找错
正确：要根据对应角找对应边

考点总结

高频考点

相似图形的概念和性质
相似三角形的判定定理
相似三角形的性质应用
相似三角形的实际应用

解题技巧

证明相似三角形时，要根据已知条件选择合适的判定定理
利用相似三角形的性质可以解决很多比例问题
解决实际应用问题时，要先建立相似模型，再利用相似性质求解
注意相似比的顺序，谁比谁要搞清楚

第八单元：锐角三角函数

单元主题

锐角三角函数的概念与应用

知识结构

锐角三角函数

├── 锐角三角函数的概念

├── 特殊角的三角函数值

├── 解直角三角形

└── 解直角三角形的应用

重点知识点

8.1 锐角三角函数的概念

定义

在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A 为锐角：

正弦：$\sin A = \frac{\angle A的对边}{\斜边} = \frac{a}{c}$
余弦：$\cos A = \frac{\angle A的邻边}{\斜边} = \frac{b}{c}$
正切：$\tan A = \frac{\angle A的对边}{\angle A的邻边} = \frac{a}{b}$

取值范围

对于锐角 A，有：

$0 < \sin A < 1$

$0 < \cos A < 1$

$\tan A > 0$

互余角的三角函数关系

$\sin A = \cos(90° - A)$
$\cos A = \sin(90° - A)$
$\tan A \cdot \tan(90° - A) = 1$

8.2 特殊角的三角函数值

30°、45°、60° 的三角函数值

角度	sin	cos	tan
30°	1/2	√3/2	√3/3
45°	√2/2	√2/2	1
60°	√3/2	1/2	√3

8.3 解直角三角形

解直角三角形的概念

在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形

解直角三角形的依据

三边关系：勾股定理 $a^2 + b^2 = c^2$
锐角关系：∠A + ∠B = 90°
边角关系：三角函数的定义

8.4 解直角三角形的应用

常见应用类型

仰角和俯角

仰角：视线在水平线上方的角
俯角：视线在水平线下方的角

坡度和坡角

坡度 i = 垂直高度 h / 水平宽度 l = tanα
坡角 α：坡面与水平面的夹角

方位角

从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角

典型例题

例 1：锐角三角函数的概念

在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，求∠A 的三个三角函数值。

解答：

首先求斜边 AB：

$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{5}$

$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{5}$

$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{4}{3}$

例 2：特殊角的三角函数值

计算：

(1) $\sin 30° + \cos 60°$

(2) $\tan 45° - \sin 60° \cdot \cos 30°$

解答：

(1) $\sin 30° + \cos 60° = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

(2) $\tan 45° - \sin 60° \cdot \cos 30° = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

例 3：解直角三角形的应用

如图，某建筑物 BC 顶部有一旗杆 AB，在离建筑物底部 C 点 20 米的 D 处，测得旗杆底部 B 的仰角为 30°，旗杆顶部 A 的仰角为 45°，求旗杆 AB 的高度。（结果保留根号）

解答：

在 Rt△BCD 中：

$\tan 30° = \frac{BC}{CD} \implies BC = CD \cdot \tan 30° = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$

在 Rt△ACD 中：

$\tan 45° = \frac{AC}{CD} \implies AC = CD \cdot \tan 45° = 20 \times 1 = 20$

所以 AB = AC - BC = $20 - \frac{20\sqrt{3}}{3} = \frac{60 - 20\sqrt{3}}{3}$（米）

答：旗杆 AB 的高度为$\frac{60 - 20\sqrt{3}}{3}$米。

易错点分析

易错点 1：三角函数的定义

错误：对边、邻边、斜边的位置找错
正确：要根据所给的锐角确定对边和邻边

易错点 2：特殊角的三角函数值

错误：记忆混淆
正确：要熟练记忆 30°、45°、60° 的三角函数值

易错点 3：解直角三角形的应用

错误：仰角和俯角的概念混淆
正确：仰角是向上看，俯角是向下看

考点总结

高频考点

锐角三角函数的概念和定义
特殊角的三角函数值
解直角三角形
解直角三角形的实际应用

解题技巧

计算三角函数值时，要先确定直角三角形的三边
记忆特殊角的三角函数值时，可以结合直角三角形的性质
解直角三角形时，要根据已知条件选择合适的关系式
解决实际应用问题时，要先画出图形，建立数学模型

第九单元：投影与视图

单元主题

投影与三视图

知识结构

投影与视图

├── 投影

│   ├── 平行投影

│   └── 中心投影

└── 三视图

&#x20;   ├── 主视图

&#x20;   ├── 俯视图

&#x20;   └── 左视图

重点知识点

9.1 投影

投影的概念

一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影
照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面

平行投影

由平行光线形成的投影叫做平行投影
例如：太阳光下的投影

中心投影

由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影
例如：灯光下的投影

9.2 三视图

三视图的概念

主视图：从正面看到的图形
俯视图：从上面看到的图形
左视图：从左面看到的图形

三视图的画法规则

长对正：主视图和俯视图的长要相等
高平齐：主视图和左视图的高要相等
宽相等：俯视图和左视图的宽要相等

常见几何体的三视图

正方体、长方体、圆柱、圆锥、球等几何体的三视图

典型例题

例 1：投影的判断

下列投影中，属于平行投影的是（）

A. 路灯下行人的影子

B. 太阳光下树的影子

C. 手电筒照射下物体的影子

D. 台灯照射下书本的影子

解答：

A. 中心投影

B. 平行投影

C. 中心投影

D. 中心投影

答案：B

例 2：三视图的识别

如图所示的几何体的主视图是（）

解答：

从正面看，几何体的主视图应该是一个矩形，中间有一条横线。

答案：选项中对应的图形

例 3：根据三视图判断几何体

一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）

A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 正方体

解答：

主视图和左视图都是三角形，俯视图是圆，所以这个几何体是圆锥。

答案：B

易错点分析

易错点 1：平行投影与中心投影的区别

错误：混淆两种投影的概念
正确：平行投影是平行光线形成的，中心投影是点光源形成的

易错点 2：三视图的画法规则

错误：不遵守 “长对正、高平齐、宽相等” 的规则
正确：必须严格遵守三视图的画法规则

易错点 3：根据三视图判断几何体

错误：对常见几何体的三视图记忆不准确
正确：要熟练掌握常见几何体的三视图

考点总结

高频考点

平行投影与中心投影的判断
三视图的识别和画法
根据三视图判断几何体
三视图的相关计算

解题技巧

判断投影类型时，要看光线是平行的还是从一点发出的
画三视图时，要严格遵守 “长对正、高平齐、宽相等” 的规则
根据三视图判断几何体时，要综合考虑三个视图的形状
解决三视图的计算问题时，要利用三视图之间的关系

学习建议：

“数学学习需要理解概念、掌握方法、多做练习。按单元系统复习，重点掌握基础知识和基本技能，注重知识的应用和拓展，一定能够取得优异成绩！”

制定日期：2025 年 12 月 15 日

适用对象：杭州初三学生

有效期限：初三上学期

（注：文档部分内容可能由 AI 生成）

文章目录

杭州初三上学期数学单元知识点梳理

第一单元：二次根式

单元主题

知识结构

重点知识点

1.1 二次根式的概念

1.2 二次根式的性质

1.3 二次根式的运算

典型例题

易错点分析

考点总结

第二单元：一元二次方程

单元主题

知识结构

重点知识点

2.1 一元二次方程的概念

2.2 一元二次方程的解法

2.3 一元二次方程根的判别式

2.4 一元二次方程的应用

典型例题

易错点分析

考点总结

第三单元：旋转

单元主题

知识结构

重点知识点

3.1 旋转的概念

3.2 旋转的性质

3.3 中心对称

典型例题

易错点分析

考点总结

第四单元：圆

单元主题

知识结构

重点知识点

4.1 圆的基本概念

4.2 圆的对称性

4.3 圆周角与圆心角

4.4 点、直线、圆与圆的位置关系

4.5 弧长和扇形面积

典型例题

易错点分析

考点总结

第五单元：概率初步

单元主题

知识结构

重点知识点

5.1 随机事件

5.2 概率的意义

5.3 概率的计算

5.4 用频率估计概率

典型例题

易错点分析

考点总结

第六单元：反比例函数

单元主题

知识结构

重点知识点

6.1 反比例函数的概念

6.2 反比例函数的图像

6.3 反比例函数的性质

6.4 反比例函数的应用

典型例题

易错点分析

考点总结

第七单元：相似

单元主题

知识结构

重点知识点

7.1 图形的相似

7.2 相似三角形的判定

7.3 相似三角形的性质

7.4 相似三角形的应用

典型例题

易错点分析

考点总结

第八单元：锐角三角函数

单元主题